일단, 일전에 제가 실수 한것 사과드립니다. F-15 날개 한쪽 날아간 사고에 대해서 비슷한 사례를
실험으로 해본적이 있다고 하면서 인용한 논문이 지금 확인하니 초음속이군요. 수평미익, 수직미익
손실시에 대해서는 아음속 부터 초음속까지 마하수에 따른 안정성 변화를 고려해놨는데, 정작 주익
손실시에 대해서는 초음속에 대해서만 계산해놨습니다.

그래서 한 번 F-15가 한쪽 날개가 떨어진 상태로 착륙했던것이 아예 불가능한 것인지 아닌지에 대해서
한번 모을 수 있는 자료나마 모아서 풀어 봤습니다.

사고개요는 다들 아실 겁니다. 이스라엘에서 복좌 F-15와 A-4가 공중전 훈련 중 충돌 사고가 났고
이때 F-15는 왼쪽 주익이 대부분 떨어져 나간 상태였으나 자세를 회복하고 착륙에 성공했습니다.
물론 착륙시 접지속도는 약 280 knot로 규정속도의 두배가 넘었지만.

이렇게 주익이 한쪽 떨어져 나가게 되면 문제시되는것은 양력의 손실자체보다도 좌우 양력 불균형에
따른 롤링 모멘트입니다. 사실상 스핀상태와 같아지기 때문에 날개가 없는 쪽으로 계속 기울어지려고
하게되죠.

일반적으로 에일러론으로만 제어를 하는 항공기라면 이 상황에서 롤 제어가 사실상 불가능할지 모르나,
F-15를 비롯한 현재 대부분의 전투기들은 수평꼬리날개도 롤 제어를 겸하고 있습니다.

그래서 F-15의 주익이 한 쪽 떨어져 나갔을 때 수평꼬리날개에서는 얼마만큼의 조종력을 내야 하는지,
그러기 위해서 수평꼬리날개는 어느정도의 양력계수를 가져야 하는지를 최종적으로 계산했습니다.

먼저 Y방향, 즉 남아 있는 오른쪽 날개방향으로 C.G가 옮겨졌을겁니다. 왼쪽이 가벼워졌으니.
그래서 대략적인 무게를 추정해 봤습니다.

Roskam의 "Airplane Design"이라는 책의 부록 중에 F-15의 각 하부단위별 무게가 나와있습니다.
사고기종인 F-15D는 아니고 단좌기인 F-15C이지만 두 기종간에 아주 큰 차이는 없으니 일단 이
데이터를 가지고 계산을 했습니다.

이 자료에 따르면 F-15의 Wing Group 무게는 3642 파운드입니다. 다만 여기서 Wing Group은 구조물
만의 무게이며 에일러론, 플랩 같은 조종면이나 기타 내부에 들어 있는 부품 등은 포함되지 않았
습니다.

하지만 이것들을 따로 알기 어려우므로 일단 날개 무게만을 고려하겠습니다.좌우 주익의 무게는
동일하다고 가정하면 한 쪽 주익의 무게는 이것의 1/2인 1821 파운드입니다.

자료에 의하면 F-15의 전체 Empty Weight는 27425 파운드입니다. 여기서 주익을 뺀 나머지 무게는
25604 파운드가 됩니다.

그 다음은 연료량. F-15C의 연료에 관한 내용은 "Development and Flight Evaluation of an Emergency
Digital Flight Control System Using Only Engine Thrust on an F-15 Airplane"이라는 리포트를 참고
해습니다.

이 리포트에 따르면 F-15는 좌우 주익에 각각 2700 파운드의 연료를 탑재하며, 동체에는 1번 연료탱크에
2700, 2번에 2000, 3번에 1500 파운드의 연료를 탑재합니다. 전체 내부 연료탑재량은 11600 파운드가 됩
니다. 그리고 연료소모 순서는 주익 및 1번 연료 탱크를 동시에 먼저 소모한 다음 2, 3번 연료를 소모한
다고 되어 있습니다.

이스라엘의 사고기종은 외부연료탱크는 보이지 않으므로 내부연료를 소모했다고 가정했습니다. 문제는
얼마를 소모했냐인데, 사고시점이 정확하지 않으므로 훈련 시작 직후로 가정, 어림잡아 30% 정도의
연료만 소모했다고 보겠습니다.

그러면 3480 파운드의 연료를 소모했으며, 좌우 주익 및 동체에서 각각 동일하게 소모 했으므로 3 연료
탱크에서 3480/3=1160 파운드씩 빠집니다. 즉 70%의 연료가 남은 F-15의 연료는

좌측날개연료 : 1540
우측날개연료 : 1540
동체1번 연료 : 1540
동체2번 연료 : 2000
동체3번 연료 : 1500

이 됩니다.

그러면 주익을 제외한 나머지 부분 + 동체연료 :
25604 + (1540+2000+1500) = 30644 파운드 (이하 BODY_W)

주익 한쪽 무게 + 주익 한쪽 연료 :
1821 + 1540 = 3361 파운드 (이하 WING_W)

한편 F-15의 날개에는 SUU-59 윙파일런과 미사일 발사대 두 개 및 미사일이 달려 있습니다. 여기에 파일런과
발사대를 연결하는 어댑터 무게도 포함되어야 하나 이것의 자료는 찾지 못했습니다. 다만 발사대 보다도 가벼
울 것이므로 큰 영향을 미치진 않으리라고 봅니다. 각각의 무게는,

SUU-59 : 335
발사대 : 174 (LAU-128과 동일하다고 가정. 좌우 두 개 합친무게)
미사일 : 191

무장총합 : 700 파운드 (이하 WPN_W)

이제 변경된 무게중심을 구하기 위해 각각의 상대적인 위치를 알아야 합니다.
BODY_W의 무게중심은 Center Line 상에 위치한다고 가정했습니다.

WPN_W의 무게중심은 SUU-59 중심에 있다고 가정했습니다. 실제로라면 AIM-9 때문에 바깥으로 약간 더
빠져나가겠지만 큰 차이는 없을 것입니다. SUU-59는 Center Line으로 부터 115.25 inch 떨어져 있습
니다.

문제는 WING_W의 무게중심 위치인데, 이것에 대해서는 정확한 자료가 없습니다. 다만 통상적으로 날개의 무게
중심은 Mean Aerodynamic Chord (이하 MAC)근처에 있으므로 이것의 위치로 삼겠습니다.

F-15의 MAC를 찾기 위해 먼저 F-15의 Scale 그림을 오토캐드로 본을 떴습니다. 주익과 수평미익을 그림을 따라
선을 그은다음, 이것을 F-15의 실제 크기 만큼 Scale Up 했습니다. 기준점은 주익 폭으로 삼았으며, 13054mm가
되도록 했습니다. (이하 계산과정도 길이단위는 inch로 하겠지만 편의를 위해 캐드그림은 mm 단위로 했습니다.)

스케일 그림이 나와있던 자료에 의하면 F-15의 MAC의 길이는 15.94 ft (=4858.5 mm) 입니다. 이 시위길이에 해당
하는 지점을 F-15 날개의 캐드그림에 표시한다음, 중심축과의 거리를 계산하면 2807.68 mm이며, 110.5 in가 됩니
다.

정리하면

하위그룹 : 무게 // 중심축과의 거리
BODY_W : 30644 // 0
WING_W : 3361 // 110.5
WPN_W : 700 // 115.25

입니다.

그럼 변경된 무게중심은

(30644*0 + 3361*110.5 + 700*115.25) / (30644+3361+700)
=13.0259 inch

즉 남아 있는 왼쪽 날개 쪽으로 중심선에서 13.0259 inch (약 33.1 cm) 만큼 이동한 셈이 됩니다.

이제 무게와 양력 불균형에 의한 롤링모멘트를 계산해 보겠습니다.

한쪽 날개가 날아갔으므로 양력불균형으로 인해 항공기가 무게중심을 축으로 기울어지려는 모멘트가
생길겁니다.

먼저 양력을 고려하면, 항공기가 최소한 공중에서 고도를 유지하려면 전체 양력 발생량은 현재의 무게와
같을 겁니다. (실제로는 착륙을 위하 해강중이었으니 양력이 약간 작았겠지만) 문제는 양력의 일부를 동체
에서 만들어 냈다는 것입니다. 일반적인 항공기의 동체에서도 어느정도 양력은 발생하며, 사고 내용에
따르면 MD사는 귀환중 F-15의 동체에서 약 30%의 양력을 만들어 냈다는 말을 했습니다.

그렇다면 날개에서 전체무게의 70%의 양력을, 동체에서 30%의 양력을 만들어 냈다고 하면

동체양력 : 10411.5
날개양력 : 24293.5
전체양력 : 30644 (=현재 전체 무게)

가 됩니다.

동체의 공력 중심은 동체 중심선에 있다고 가정하며, 날개의 공력중심은 MAC상에 있을 것
입니다. 이 경우 모멘트 암(Arm)의 길이는 각각의 공력중심과 변경된 무게중심간의 거리가
되므로 약 97.47 in와 -13.03 in가 됩니다. (엑셀로 계산했기 때문에 실제로는 소수점 아래
로 더 이어지지만 일단 둘째 짜리만 반올림해서 표시했습니다.)

즉 양력에 의한 롤링모멘트는

동체양력 모멘트 : 동체양력 * 동체양력모멘트암 = 10411.5 * -13.02 = -135620
날개양력 모멘트 : 날개양력 * 날개양력모멘트암 = 24293.5 * 97.47 = 2367986

무게중심에서의 모멘트이므로 각 하부단위의 무게에 의한 모멘트는 전체 합치면 0입니다.

즉 현재 상태에서 무게중심에는 2367986-135620=223266 lb-in 만큼의 모멘트가 생기고 있습니다.

그렇다면 이 모멘트를 상쇄시키기 위해서 꼬리날개가 조종력을 만들어 내야 합니다.

물론 F-15는 에일러론 역시 갖고 있으므로 이것도 작동하겠지만, 결국 남아있는 좌측 날개의 전체
양력을 줄이는 형태로 작용하게 되므로 여기서는 그 줄어든 양 만큼이 현재 날개가 만들어 내고 있
는 양력이라고 보겠습니다.

F-15의 수평꼬리날개는 Taileron 개념으로, Rolling 역시 제어할 수 있습니다.

여기서는 좌우 수평꼬리날개에서 상하방향은 반대이며 크기는 같은 정도의 조종력을 만들어 낸 다고
가정하겠습니다.

수평꼬리날개의 MAC의 위치는 현재 나와있는 자료가 없으므로 기하학적으로 유추하였습니다. 다만 이
방식을 쓰려면 원래 Tip Chord와 Root Chord가 수평이어야 하지만 F-15는 그러한 형상이 아니므로 이러
한 형상이 되도록 약간 변경하였습니다.

위의 캐드 그림에서 알 수 있듯, 수평꼬리날개의 공력중심은 항공기의 무게중심으로 부터 2829.68 mm,
즉 111.4 inch 만큼 떨어져있습니다.

한쪽은 모멘트암이 98.37 in, 나머지 한쪽은 124.45 in가 되며 이것과 수평꼬리날개의 조종력의 각각의
곱은 양력 불균형에 의해 발생하는 모멘트, 2232366 lb-in 만큼이 되면 항공기는 Rolling 하지 않고 자
세를 유지할 수 있습니다. 즉

98.37* 수평꼬리날개 조종력 + 124.45 * 수평꼬리날개 조종력 = 2232366 lb-in

이것을 풀면

수평꼬리날개 조종력 = 2232366/(98.37+124.45)=10019.6 파운드

즉 한쪽 날개당 10019.6 파운드의 조종력 (한쪽은 윗 방향, 한쪽은 아랫 방향)을 만들어 내야 합니다.

F-15의 수평꼬리날개의 면적은 110 ft^2 이며, 한쪽당 55 ft^2 입니다.
(출처 : Roskam, "Airplane Design")

착륙시 F-15의 속도는 280 knot = 470 ft/s 였습니다. 비행장은 대부분 해면고도에서 높지 않은 곳에
있으므로 대기밀도는 해면고도로 가정하면 0.00238 slug/ft^3 입니다.

그러면 수평꼬리날개가 가져야 하는 양력계수는

양력계수 = 양력 / (0.5*밀도*속도^2*면적) = 2232366 / (0.5*0.00238*470^2)
=0.693

입니다.

이 정도면 수평꼬리날개라고 해도 충분히 낼 수 있는 양력계수입니다.

물론 수평꼬리날개는 Rolling Moment 뿐만 아니라 Pitching Moment 역시 만들어 내야 합니다.
그런데 F-15는 완전히 정안정성 완화를 염두에 두고 개발된 항공기는 아니지만, 무게중심이
비교적 공력중심에 있는 편입니다. 특히 약 70%의 내부연료를 탑재한 상태라면 무게중심은
MAC의 26% 정도의 위치에 있으며, 공력중심이 25% 정도에 있으므로 실질적으로 수평꼬리날개가
만들어내야 하는 Pitching Moment는 매우 작은 편입니다.

F-15는 연료를 소모할 수록 무게중심이 뒤로 이동하며, 거의 최대한 소모하더라도 MAC 기준으로 28~29%
사이 정도 뒤로 위치하게 됩니다.

계산에는 사실 중간 과정에서 몇 가지 정확한 값을 알 수 없어 추정치를 넣은 것들이 있습니다.

날개의 무게중심 및 공력중심이 현재 계산한 것 보다 동체에서 30% 더 멀리 떨어져있다면 수평
꼬리날개는 0.91 정도의 양력계수를 가져야 합니다.

수평꼬리날개의 공력중심이 훨씬 동체쪼에 가까워서 약 30% 정도 동체쪽으로 붙을 경우엔 꼬리
날개는 0.99 정도의 양력계수를 가져야 합니다.

만약 2가지 경우 모두가 적용되어 주날개의 공력중심은 동체에서 30% 밖에 있고, 수평꼬리날개의
공력중심은 동체 중앙쪽으로 30% 만큼 이동하면 1.30 정도의 양력계수를 가져야 합니다.

날개의 무게중심 위치가 위의 추정위치인 대신, 동체가 양력을 전혀 만들어내지 못했다면 꼬리날
개는 1.1 정도의 양력계수를 가져야 합니다.

이상의 결과는 물론 많은 가정 속에서 이뤄진 것이므로 실제 값과 정확히 일치하기는 어려우리라 여겨집니다.
만약 조금 더 정확한 값을 알고 계시다면 그 값을 토대로 다시 한 번 계산해 보겠습니다.