포물선의 접선에 대한 반사성질로부터 발견할 수 있는 논증적 성질을 모두 모아봤음.

너무 길어지는 관계로 타원과 쌍곡선은 다음 기회에...

(1) 포물선과 1개의 접선

'정리 1 ii)'는 포물선의 반사성질이라고 부름.

'정리 1 iii), iv)'랑 '정리 2'는 반사성질로부터 당연한 성질인데,

굳이 적은 이유는 막상 문제를 접하면 당연하게 안 느껴지기 때문.

(2) 포물선과 2개의 접선

'정리 3'은 PQ가 초점을 지나지 않는 일반적인 경우의 성질들

'정리 4'는 PQ가 초점을 지나기 위한 동치 조건들.

물론 '정리 3'의 성질들은 모두 만족할 수 밖에 없음.

이차곡선에 대한 극선의 정의와 성질은 해석적인 이해가 제일 좋다고 생각함.

원에서의 정의는 반전 (inversion) 변환과 밀접한 연관이 있는데,

이 경우에도 '정리 5'의 성질을 만족함을 쉽게 보일 수 있음.

(3) 포물선과 3개의 접선

'완전사변형' 칼럼의 내용을 먼저 읽어보는걸 추천함.

# 완전사변형 (Complete Quadrilateral)

(4) 포물선과 4개의 접선

포물선은 4개의 미지수로 완전히 결정되는 곡선임을 알 수 있음.

임의의 이차곡선은 5개의 미지수로 유일하게 결정되는데

(Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0),

초점-준선 정의를 통해 이해하면 포물선은 이심률이 e=1로 고정되어 있음.

+ 이전에 올린 문제들의 풀이 (링크가 포함되어 있음).

# 포물선 + 수심삼각형

접선이 되기 위한 필요충분조건을 이용하는 문제.

'정리 1 iii)'과 '정리 4 iii)'의 성질이 이용됨.

네 직선에 접하는 포물선이 유일하다는 것을 이용하는 풀이는

미처 생각하지 못했는데, 좋은 아이디어라고 생각함.

# 포물선 + 구점원

'정리 3 vi)', '정리 5'의 성질이 이용됨.

중점삼각형의 외접원이 구점원이고,

중점삼각형의 수심이 원래삼각형의 외심임을 알고 있어야 함.

RP에 접함을 증명하는게 가장 까다로운 부분인데,

극선의 성질과 평행선의 아이디어를 떠올려야 함.

# 포물선 + 극선 (1)

극선에 대한 추가적인 성질을 발견할 수 있는 문제임.

위의 문제로부터 알 수 있는 사실을 정리해보면...

# 포물선 + 극선 (2)

자취 없이 초점과 준선만 주어진 경우 위의 문제를 토대로

pole로부터 polar를, polar로부터 pole을 작도할 수 있음.

아래 작도 방법은 pole이 포물선의 내부에 있을 때 뿐만 아니라 

포물선의 외부에 있을 때도 써먹을 수 있는 방법임.