수학과를 선택하려는 사람들에게(펌)

ㅇㅇ · 2020.01.14 13:03:38

저는 개인적으로 요새 수학과 들어와서 공부를 하려면,

뭐 어렸을때부터 올림피아드해서 국가대표하고 이런거 현실적이지 않은 소리인것 같고

고등학교때 수학을 그래도 충분히 열심히 하고 수능을 1등급정도는 무난히 받는 사람이라면 일단 수학과에 한번 와볼법 하지 않나 싶습니다. (본인이 대학수학에대해서도 알아봣고,원한다면)

그런데 이제 대학교 1학년때나, 2학년때쯤에

칼큘러스를 배우고 이후에 대학교 해석학을 배울때 그곳의 연습문제들을 아주 정확하게 풀 수 있다면

사실 그 이후로도 수학을 계속하는데 일단은 큰 무리가 없지않나싶습니다.

뭐 현실적으로 필즈메달 딸것도 아니고 공부하는데 그정도면 뭐 괜찮지 싶네요.

그런데 다만 일단 대학교때 공부를 하는데 있어서

이 수학적인 역사가 어떻게 발전해왔고, 그 안에서 대학교때 배우는 것들의 포지션이 어떤지를 좀 알아볼 필요가 생각합니다.

그리고 수학과 와서 공부하면 생각보다 저는 이런게 또 좀 중요한것 같습니다.

왜냐면 하염없이 바다처럼만 느껴지는 수학에 대해서 어느정도 큰 그림을 그리냐 아니냐는 방향성에 있어서 큰 차이를 일으킬 수 있거든요.

먼저 수학에 대한 역사를 아주 간단하게만 좀 나눠보면 다음과 같습니다.

기원전 : 유클리드 기하학이나 피타고라스 학파의 기하학 -> 요새는 중학교때 배우죠.

유일하게 아르키메데스가 미친사람마냥 구분구적법을 연구 (시대를 거의 2000년을 앞서간)

그 이후로 거의 수학적인 발전이 없었음.

그래도 로그라던가 아라비아 숫자라던가 하는 것들에 대한 발명이 수학사에서 아주 중요하다고 여겨짐.

17세기 수학의 가장 큰 (사실상 첫번째) 사건 : 미적분학의 건립.

그런데 웃긴건 이때만 해도 사람들이 음수x음수 이런것도 할줄 몰랐음.

파스칼같은 수학자도 5-7=0 이런식으로 이야기했고.

이런것들은 오일러가 전부 정립.

어쨌든 미적분학은 현재 고등학생도 배우는 개념으로 쑥쑥 내려오고 대학교 올라오면 1학년때 공학수학에서 배우는 내용.

18~19세기 : 그 이후로 수학이 라그랑쥬, 오일러, 가우스,코시 등등에 의해서 정말 폭발적으로 성장함.

정수라는 개념과 항등원 역원등을 만들고,

상미분방정식, 편미분방정식, 정수론, 행렬(대학교 선형대수), 미분기하부터 해서

확률에 관한 수학인 확률론,

조금 고급진거라고 하면 대학교 학부때 배우는 해석학(입실론델타 개념) 이라던가 미분기하

복소해석학같은것?

거의 대부분 내용은 다 이때쯤 나온것입니다.

18~19세기때 나왔다고 보면되요. 거의 다 배울만한것은 학부때 배운다고 보면됩니다.

물론 쓸모가 없어서 역사속으로 사라진 개념도 있겠습니다만, 그건 전 뭔지 모르죠. 사라졌으니깐.

모든 이론들이 살아남는것은 아닙니다.

19세기 중반~19세기 말 : 이때 수학이 점점 시간이 지나면서 꽤나 고급지게 발전했습니다.

특히 리만과 갈루아가 나와서 대학수학중에서도 굉장히 고급개념인 (대학교 4학년때 ~ 대학원 석사 초기에 배우는)

리만곡면이론이나 갈루아정리등이 나오고 기하나 대수학이라는게 생각보다 깊은 내용이라는게 밝혀졌죠.

그 전까지는 사실상 거의 미적분학과 미분방정식, 정수론이나 수론이나 함수론 이런식으로 고등학생이나 대학생들에게도 개념자체는 친숙한것들이 수학의 대세였습니다. (물론 지금 대학생들이 배우는것보단 훨씬 어려운 수준이였겟지만요ㅋㅋㅋ 현재 여러분들이 교과서로 배우는 모든것은 어려운거 다 빼고 굉장히 중요하고 쉬운것으로만 연습문제도 다 친절하게 넣어서 배우는거라고 보면됩니다.)

리만곡면이론(기하)이나 갈루아정리(대수)같은것들이

지금은 뭐 그 이후로 엄청나게 (진짜 엄청나게) 확장되서 정말 대수전공자들도 서로 뭐하는지 모를정도로 커졌죠.

20세기의 수학 : Hilbert라는 수학자에 의해서 또 다시 한번 더 체계가 잡힙니다.

Hilbert가 1900년대에 프랑스 국제수학자학회에서 23개의 수학자가 나아가야할 방향에 대한 문제를 제시했는데,

현재 리만가설이라던가 아주 몇개 굵직한것 뺴고는 전부 다 풀렸습니다.

그리고 1900년대 수학은 사실상 이런 문제들을 풀면서 새로운 개념등을 도입했는데 그러면서 발전햇다고 보면됩니다.

아주 대표적으로 페르마 마지막정리 같은것들이 있죠.

괴델의 불완전성 정리, 그로센딕의 대수기하, 함수해석학 등등...

그래서 저는 사실상 수학을 일단 크게 3가지로 구분하는데,

1900년대 이전, 1900년대 이후, 2017년 이후 (제가 대학원 들어간 시점)

이게 재밌는게, 1900년대 이전에 나온 웬만한 수학들은 요새는 다 대학교~석사때 배웁니다.

물론 그게 발전하고 발전하는 형식도 있습니다.

예를 들면 정수론 문제는 뭐 페르마 마지막 정리같은것은 수학의 최고 경계선에 배운다고 봐야하지만,

그래도 정수론 자체의 기본은 대학교때 배운다고 봐야하지않겠습니까?

(사실 대부분 수학이 다 이런식입니다. 개념은 1700년 이후에 언젠가 나오긴 했는데, 그 당시 나왔던 것보다 지금은 훨씬 더 발전되었고 학생들이 배우는것은 1700년대에 나왔던 것중에서도 아주 중요한 핵심적인 일부분만 배우는... 그런 모양새죠)

그런데 1900년대 이후부터는 뭔가 천차만별이에요.

하디라던가 리틀우드가 했던 수학들 대부분은 뭐 이젠 대학원 석사 수준이 되어버렸구요.

뭐 영화 뷰티풀마인드에서 나왔던 존내쉬가 풀어서 필즈상을 받니마니 했었던 그런 estimate에 관한 문제도 제 주간 세미나거리 정도입니다.

(쉽다는건 아닙니다.)

(존내쉬 진짜 천재임)

(물론 그걸 이해하는거랑 제가 그정도 논문을 쓸 수 있는거랑은 아예아예아예 다른 이야기임)

그렇다고 그때 했던 수학들이 다 이해가 되고 쉽냐, 라고하면 그렇지 않은 것도 많죠.

뭐 이런식으로 발전하고 2000년 이후로 너무나도 수학이 방대해져서....

제 전공이 편미분방정식인데, 이 안에서도 elliptic (라플라시안) 계열을 공부하는 사람이랑

wave(파동) 계열을 공부하는 사람이 서로 뭐하는지도 잘 모릅니다ㅋㅋㅋㅋㅋ

물론 정말정말 대가는 다 아는 경우도 있지만, 이런 사람들은 이미 교수들 중에서도 약간 대장같은 역할이죠.

막 교과서에 이름 나오고...

이쯤에서 한번 수학과 들어올 학생들에게 어떤 이야기를 하고 싶냐면,

1.저학년땐 엄밀함을 배우고, 수학적 테크닉등을 익혀라.

수능같은건 다 집어 던지셔야합니다.

저학년때는 이제 해석학을 시작할텐데, 방학 한번정도는 온전히 다 투자하셔서 해석학의 연습문제들을 다 풀어보고

모든 정리들을 공부한뒤 백지에 스스로 다시 한번 증명해보는것까지 해보셔야합니다.

그리고 그 외에도 연습문제들이나 대학생 수학경시대회같은 문제들, 혹은 외국의 putnam competition 문제등을

풀고 사람들이랑 소통하면서 테크닉을 익히시는게 유리합니다.

2.그리고 이후엔 미친듯이 배워라. 무조건 많이 배울수록 유리하다.

여기서 먼저 배워야할 것을 알려드리자면,

위에서 수학 역사를 언급했었죠?

거기서 1900년대 이전에 나왔던 수학중 대학교 및 석사 초반까지 배우는 모든 수학은 그냥 다 아는게 좋다고 생각하시면 됩니다.

근데 여기서 잘 이해해야하는 부분이 있습니다.

저런 개념들은 만들어낸 사람들은 진짜 다 전부 그 시대에 가장 천재였던 사람들입니다.

지금으로 치면 16살때 이미 서울대 의대 합격할 수 있지만 그런곳 안가고 MIT 갔다가 필즈상 받는 그런 사람들이에요.

그런데 그런 사람들이 배운것을 어떻게 차근차근 다 스스로 만들어나가고, 그 증명을 내가 다시 해본다?

거의 불가능할것이고, 부분부분 가능할것이라고 해도 굉장히 비효율적입니다.

우리는 일단 1900~2000년대를 거쳐서 최신학문에 도달해야 리서치라는걸 하던가 말던가 하기때문에

일단 1900년대 이전에 나왔던 수학들은 일단 몸에 익히는게 좋습니다.

여기서 저는 가장 좋은 예시가 구구단이나 미적분이라고 생각해요.

여러분 8살때 구구단 배웠을때 생각해보면, 일단 익숙하지 않아도 외우고 봤던 기억이 있을겁니다.

조금씩조금씩 그리고 외우면서, 어느날 뒤 돌아보니 너무나도 쉽고 너무나도 당연한 구구단이 되버린거죠.

그런데 불과 16세기같은때에는 유럽에서 곱셈이나 곱셈공식등을 배우려면 이탈리아같은곳으로 유학을 갔어야했다는걸 아시나요??

흠....

또한 17세기에 역사상 가장 위대한 천재중 하나라고 손꼽히는 뉴턴이 만들어낸 미적분학을

21세기에는 대한민국 수능 3등급 받는 고딩도 어느정도 꽤 잘 다룰 수 있습니다.

대체 이게 어떻게 가능한걸까요?

여기서 어느정도 암기나, 일단 개념을 받아들인뒤에 이후에 서서히 이해를 하는것의 중요성이 부각된다고 저는 생각합니다.

현실적으로 모든걸 A to Z로 자신이 만들고 이해하면서 하기는 힘든노릇이고,

여기서 가장 중요한 정리가 뭔지, 이 분야가 풀고싶어하는 문제가 무엇인지, 등등을 익히고

그 이후에 깊은 의미는 스스로 천천히 생각해보는거죠.

잘 생각해보세요. 여러분들이 진짜 처음부터 미적분학의 기본정리를 잘 이해했었는지.

아니면 일단 공식부터 배워서 문제푸는법을 배우고 나중에 의미를 깨달았는지.

그냥 여러분이 대학교에서 배우는 것은 구글링을 해본다음에 1919년 이전에 나온 개념이라면 구구단 외우듯이 닥치고 배우면 된다 생각하면 됩니다.

3. 이런것들을 위해서 수학 교양 서적을 틈틈히 읽는다.

필즈상 이야기, 수학이 필요한 순간, 페르마의 마지막 정리, 수학귀신, 로지코믹스, 어느 수학자의 변명,

100년의 난제 푸앵카레 추측은 어떻게 풀렸을까? , 존내쉬 평전, 가우스 평전, 아르키메데스 평전,

현대수학의 아버지 힐베르트, 사람들이 미쳤다고 한 어느 수학자 이야기.

등등 이런 수학관련된 글이나 article 등을 많이 읽다보면, 뭔가 수학자의 정신세계를 들여다보는 기분이 들어서

좀 더 진지해지거나 그런게 있는것 같습니다.

개인적으로 사람들이 미쳤다고 한 어느 수학자 이야기,100년의 난제 푸앵카레 추측은 어떻게 풀렸을까?, 로지코믹스

이 세권의 책을 저학년때는 정말 흥미롭게 읽었습니다.

개인적으로 제가 가장 후회하는 것중 하나입니다.

저는 뭔가 수학과 처음 들어왔을때 좀 이상했던게

"아니 왜 꼭 이런것들을 배워야만 수학인거지? 그건 누가 정한거지?"

이런 생각이 들었달까요. 미분적분학의 기본정리가 그렇게 중요한건지도 몰랐어요.

뭔가 이런것들에 대한 큰 그림을 알고 있으면, 공부가 좀 수월해지고 의욕도 더 생길 수 있는 법인데

이런걸 잘 몰랐죠.

뭐 여러분들도 관심있으면 참고해보시기 바랍니다.

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