물리 역학을 좀 하는 친구들 대부분은 아마 쓰고 있을 "상대값 풀이"이다.

대단하고 거창한 기술은 아니지만 계산도 훨씬 간편하고, 때에 따라 직관적이니 익혀둔다면 역학을 보는 시선도 쉽게 바라 볼 수 있게 해준다.

이제 막 물리를 입문하거나, 기출을 풀고 있어도 문제 푸는 시간이 오래 걸리는 물리러들에게는 도움이 될만한 글이다.

우선 이 상대값 풀이를 쓰기 위해서는 전제 조건이 필요한데, 바로 "역학적 에너지 보존"에 대해 완벽히 알고 있어야 한다.

가장 기본이 되는 틀은 역학적 에너지가 보존되는 상황에서는 그 합이 항상 일정하기 때문에

"증가한 역학적 에너지" = "감소한 역학적 에너지"가 성립한다.

역에보를 완벽히 이해하지 못한체 쓰려고 하면 오히려 독이 될 수도 있으니 어느정도 익힌 다음에 써보는 걸 추천한다.

사실 상대값 풀이는 역에보 문제 뿐만 아니라 다른 역학에서도 충분히 사용 가능하다.

필자는 역에보에서 익히고 다른 역학에서도 응용했기 때문에, 우선 역에보로 연습 해보는 걸 추천한다.

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방법은 매우 간단하다.

v당 운동에너지나 mgh, 또는 늘/줄어든 d당 탄성퍼텐셜 에너지를 1로 잡고 푸는 것이다.

무엇을 1로 잡느냐는 문제마다 주어진 조건이 다르니 상황에 맞게 판단해야 한다.

아래 문제들로 한 번 살펴보자.

(2022학년도 수능 20번 문제)

빨간색 글씨는 속력을 나타낸 것이다.

문제에서 B의 높이 정보가 주어졌기 때문에 이걸 활용한다.

기본적으로 v²은 h와 비례하기 때문에, 여기서 mgh=v당 운동에너지=1로 잡을 수 있다.

그렇다면 처음 B의 에너지는 18mgh이기 때문에 18의 중력퍼텐셜 에너지를 가지고 있을 거고, 마찬가지로 수평면에서는 18의 운동에너지를 가지고 있을 것이다.

위와 같은 논리로 충돌 전 A의 운동에너지는 9이고, 충돌 후 A의 운동에너지는 25가 된다.

이제 문제에서 원하는 ha(이하 a)를 구해보자. 

여기서 a를 구하기 위해서는 탄성퍼텐셜 에너지의 값을 알아야 하는데, 조건이 두 개가 있으므로 충분히 구할 수 있다.

d당 탄성 퍼텐셜 에너지를 d²이라고 둔다면, 처음 A는 d만큼 압축되어있고,  mgh=1로 잡았으니 마찰구간 높이는 2h이기 때문에 2만큼의 에너지가 손실되어 최종적으로 9라는 운동에너지만 남아있다.

그렇다면 원래 마찰면이 없었다면 d²+a는 수평면에서 전부 운동에너지로 전환되어야 하지만 2라는 에너지가 손실된 결과가 9이니 원래 d²+a는 11이 될 것이다.

즉, d²+a-2=9이니 d²+a=11 이라는 결과가 나온다.

마찬가지로 충돌 후 A의 운동에너지는 25이고 마찰면에서 2만큼의 에너지가 손실되어 4d²+a라는 에너지가 되니 4d²+a=23이 될 것이다.

아래 식과 위에 식을 연립한다면 d²=4라는 값이 나오고, 이걸 다시 대입하면 a=7이니 정답은 7h가 된다.

이게 뭐야? 라고 싶을 수 있지만 익숙해진다면 사진에 보이는 것 까지만 쓰고 암산해도 답이 바로 나온다.

(2023학년도 6월 20번 문제)

여기서 나는 d당 탄성퍼텐셜 에너지를 1, 그리고 B의 질량을 1로 두었다.

그럼 B가 √2d만큼 압축되었을 땐 2라는 에너지가 있을 것이다.

그리고 마찰면에서 손실된 에너지를 2h라고 두자.

그렇다면 B가 용수철에서 분리된 후 가지고 있던 역학적 에너지는 2+2h가 될 것이다.

2h만큼 손실된 결과가 2니까, 단순하게 원래 가지고 있던 에너지는 2+2h니 -2h를 하면 2가 되니까 말이다.

그럼 용수철 분리 당시의 A, B를 살펴보자.

처음에 d당 탄성퍼텐셜 에너지를 1로 뒀으니 처음 용수철은 2d만큼 압축되어있으니 총 4라는 에너지가 있었을 거고,

B의 원래 역학적 에너지는 2+2h인데 현재 h만큼 떠있으니 분리시 운동에너지는 2+h가 될 것이다.

그리고 문제 조건에 따라 분리된 후 A의 최대 탄성 에너지 = B의 손실에너지 = 2h가 될 것이다.

그럼, 분리시에는 역학적 에너지 보존으로 인해

용수철의 탄성퍼텐셜 에너지 = 분리시 A와 B의 운동에너지의 합이 될 것이고

이걸 수식으로 나타내면 4=2h+2+h가 되므로, h값이 나오게 된다.

이렇게 역학적 에너지 보존 유형에서도 매우 쉽게 풀리는 게 바로 이 상대값 풀이, 변수 단순화 풀이이다.

단 정말 이렇게 쉽고 빠르게 풀려면 너가 역학적 에너지 보존에 대해 잘 알고 있어야 한다. 

아래 부터는 역학적 에너지 보존 유형이 아닌 일반 도르래 문제에서도 활용되는 예를 보여주겠다.

(학평문제인데 언제인지 기억 안 남)

우선 (가)상황을 집중해서 보자.

여기서 나는 m=mg=1로 두고 풀 것이다.

두 물체를 한 계로 보면 중력이2, 아래로 kL, 위로는 2kL이니 2+kL=2kL이므로 kL=2가 나오게 된다. (그림처럼)

이말은 즉 L당 탄성력이 2이고, 평형점인 mg=kL'에서 kL'=1이 되는 kL'은 ½kL이 될 것이다.

그럼 평형점 기준 단진동 운동하니 x값 구해주면 된다.

(아마 22학년도 9월)

이 문제도 상대값으로 풀면 대충 눈으로도 풀리는 문제이다.

pq=qr이 같으므로, 2as=v²-v0² 공식을 이용해보면 (가)에서는 가속도가 16, (나)에서는 가속도가 9가 나온다. (물론 이것도 상대값)

여기서 중요한건 질량 변화가 없으니 가속도는 알짜힘과 비례 한다. 즉 (가)와 (나)에서의 알짜힘을 각각 16, 9로 둘 수 있다.

(나)그림을 보자. 원래 (가)의 알짜힘이 16인데 9가 됐다는 것은 7만큼 무언가 방해하니 9라는 값이 나온거다.

즉, (가)의 알짜힘 - 1/4mg = (나)의 알짜힘이 되므로 이걸 상대값으로 나타내면 16-7=9이므로

상대값 7은 사실 1/4mg라는 걸 알 수가 있다.

그렇다면 상대값 16은 사실 4/7mg가 될테고

4/7mg가 곧 (가)의 알짜힘이니 M-1=4/7이므로 M=11/7이 바로 나온다.

이렇듯 상대값 풀이는 시간도 단축하는데 큰 도움이 된다. 생각보다 1/2kd², mgh, 1/2mv²... 등등 쓰는게 생각보다 시간도 많이 잡아 먹기 때문에

너가 역에보 문제를 어느정도 풀 수 있다면 한 번 연습해보길 추천한다.

이런 설명하는 글을 처음 쓰는거라 글 읽기 힘들수도 있는데 머 걍 대충 봐라 

인기 좋으면 다음 칼럼은 "역학문제 푸는데 5분 이상이 걸리는 이유"에 한 번 써보려고 한다

ㅈㄴ 힘든데 개추좀