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[칼럼] 2차원 돌림힘 - 기하 문제로 바꿔 풀기앱에서 작성

Lagrangian갤로그로 이동합니다. 2020.03.16 18:11:35
조회 23020 추천 57 댓글 47
														

라그랑이야ㅎㅎ

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2차원 돌림힘이 나올 확률은 적긴한데 그래도 써봄


지금부터 말할 스킬은 정적 평형 상태에서는 어느곳을 회전축으로 잡아도 알짜 토크는 0이다를 이용할거야

일단 위 내용 증명

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시그마 기호는 생략했고 cross product를 사용하기 때문에 증명은 굳이 알 필요없어


문제를 보면서 설명해줄게

그림과 같이 바닥과 마찰이 없는 벽 사이에 밀도가 균일하고 질량이 m인 막대가 기대어 있다.
막대에 작용하는 힘의 크기를 각각 구하시오.

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(문제 출처 : David morin - Introduction to classical mechanics with problem and solutions)

위에서 증명한 내용에 따르면, 어느 곳을 축으로 잡아도 돌림힘의 합이 0이어야해

그럼 한번 mg벡터와 N벡터를 연장해보자

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(문제에선 마찰력을 F라 했는데 나는 마찰력을 f라 하고 수직항력과 마찰력의 합력을 F라고 했어)

그럼 당연히 저 교점을 축으로 잡아도 토크 평형을 이루어야 겠지?

그런데 저 축에 대한 mg와 N이 만드는 토크는 0이야

따라서 F가 만드는 토크도 0, 즉 F도 연장하면 저 교점을 지나야해

바꿔 말하면 2, 3차원에서 물체가 정적 평형을 이루고 있으면, 물체에 작용하는 힘들을 연장하면 항상 한점에서 만나

이제 기하문제로 바꼈어

힘 F가 수평면과 이루는 각도를 β라 하면

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다른 예시를 들어볼게

그림과 같이 반지름이 R인 원통과 반지름이 r인 원통이 붙어있다.
실로 수평면과 θ의 각도로 적당한 힘을 주었을 때, 이 물체가 정적 평형 상태이기 위한 cosθ의 값은?
(단, 원통은 균일하며 실의 질량은 무시한다.)

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(문제 출처 : David morin - Introduction to classical mechanics with problem and solutions)

이것도 중력 mg, 바닥이 물체에 작용하는 힘 F(= N + f)를 연장하면

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따라서 T를 연장하면 저 교점을 지나야겠지

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이렇게 간단하게 풀 수 있어


약간 복잡한 연습문제 하나 놓고갈게 풀어봐

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뱌뱌

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