신촌우왕 소개

수학자, 천재작곡가, 요가수행자

계산기를 만들기 위해

필요한 가장 기본적인 지식은

나눗셈의 몫과 나머지에 대한 지식이다.

파이썬 계산기(11):

실수의 나눗셈 정리

두 실수 a(≠0), b에 대하여

b = aq + r 및 0 ≤ r < ｜a｜를 동시에 만족하는

정수 q는 유일하게 존재한다.

이때

정수 q를 'b를 a로 나누었을 때의 몫'이라 하고,

정수 몫 q에 대하여

r = b - aq를 'b를 a로 나누었을 때의 나머지'라 한다.

정수 q가 유일하게 존재함을 증명

다음 두 식을 연립하여 풀어보자.

b = aq + r

0 ≤ r < ｜a｜

부등식에서 절대값 기호가 사용되고 있으므로

다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 진행한다.

예) b = -24, a = -5일 때, 몫 q와 나머지 r을 구하시오.

a < 0이므로

b/a ≤ q <b/a + 1에 대입하면

24/5 ≤ q < 24/5 + 1

4.8 ≤ q < 5.8

몫은 정수이므로 q = 5 혹은 몫 q = ceil((-25)/(-5)) = ceil(4.8) = 5

이때 r = b - aq = -24 - (-5)×5 = 1

몫 q = 5

나머지 r = 1

정수의 나눗셈 정리

보통 수학의 <정수론>에서

'정수의 나눗셈 정리'를 배우게 된다.

나는 '실수의 나눗셈 정리'로 확장시켜 보았다.

(※ 수학계에 이미 존재하는 지는 알지 못함.)

'실수의 나눗셈 정리'에서는

정수 몫 q가 유일하게 존재함을 말하고 있다.

이제 정수 몫 q에 대하여

r = b - aq에서 알 수 있듯이

만약 두 실수 a, b를

두 정수 a, b로 범위를 축소하면

r 또한 정수가 됨은 당연하다.

즉 '정수의 나눗셈 정리'는 다음과 같다.

<정수의 나눗셈 정리>

두 정수 a(≠0), b에 대하여

b = aq + r, 0 ≤ r < ｜a｜를 동시에 만족하는

정수 q, r은 유일하게 존재한다.