3년전에 계산한 내용을 다시 보니 과연 전체 중량값을 동체 중량값으로 잘못 계산하고, 주익을 reference wing을
기준으로 잡아서 이 문제와는 맞지 않는 내용으로 계산하였더군요. 결론적으로 주익의 공력중심과 항공기의 무게
중심이 짧아진데다가 주익이 만들어야 하는 양력을 적게 잡아서 꼬리날개가 만들어야 하는 조종력, 더 쉽게 이야기
하여 꼬리날개가 만들어야 하는 양력이 작아졌습니다.

그래서 이제 빼먹은 것을 다시 집어 넣어 계산하려 합니다.

하지만 이걸 바로잡아 다시 계산하려해도 CFD 해석은 못 믿겠다고 아우성치는 분도 계시니(아...굳이 CFD를 해석한
이유는 윈도우를 64비트로 깔면서 DOS 기반 툴들을 못써서 그렇습니다. 아무리 잉여력 넘치는 저라도 수 십만개짜리
격자해석을 주말 동안 돌리고 싶지 않았습니다.) 그럼 저도 그냥 일반적인 식을 사용하지요.

첫번째 짤방의 식, 12.6은 아래 제 3년전의 오류를 지적해주신 분이 사용한 식입니다. 정확히는 해당식의 변형이지요. 저 식은
컴퓨터 해석은 커녕 전자계산기도 없던 1950년대에 NASA에서 개발한 수식으로, 지금도 몇 몇 교과서에 항공기 개념설계등에
써먹으라고 등장하곤 합니다.

A는 가로세로비(Aspect ratio), 람다(max-t)는 최대두께 지점 기준의 후퇴각이며(주익 앞전 기준이 아님), S(exposed)는
실제로 동체 바깥에 있는 주익부분, S(ref)는 기준면적(reference area)로 동체속에 파묻힌 날개면적이지요(흔히 공개되어있는
항공기 면적은 이 기준면적입니다). F는 동체의 영향을 고려한 값이고요. 그리스 문자 ŋ는 airfoil efficiency라는 항으로 에어포일
자체가 가지고 있는 Cl(a)값을 고려해주는 값이지만...여기선 그냥 무시하고 1로 잡았습니다. 사실 대부분의 책에서 이 airfoil
efficiency는 1로 보기도 하고요 (가끔 0.95를 추천하는 책도 있습니다. 이를테면 바로 이 수식을 캡쳐한 \'Aircraft Design\'이라던지..)

뭐 설명은 길었지만 저는 주익계산에서 동체영향을 포함하지 않을 것이며, 동체에 포함된 부분에서 발생하는 가상의 주익
부분도 양력계산에서는 고려치 않을 것이므로 무시합니다.

즉 결론적으로 다른분이 계산하셨던 그 식과 동일한 내용으로 수식을 풀 것입니다(괜히 장황하게 설명글을 써서 죄송합니다..사실
가지고 있는 pdf 파일중에 NASA의 그 원본식이 나와있는 것이 없어서리...)

F-15의 주익 및 수평미익의 형상에 대한 값은 첨부한 짤방의 내용을 참조할 것입니다(\'Precision Controllability of the F-15 Airplane\').

F-15가 한쪽 날개만 가지고 착륙할 수 있었다면, 만족해야 하는 조건은 두 가지입니다.

하나는 전체 양력이 가정한 F-15의 중량과 최소한 같거나 커야합니다. 그래야만 F-15가 고도를 유지하고 공중에 떠 있을 수
있으니까요.

또 하나는 주익, 수평미익, 동체등에서 발생한 양력등을 모두 고려하였을 때, F-15가 자세를 유지할 수 있어야 합니다. 즉
각각의 부위에서 만들어내는 양력 때문에 발생하는 토크값(모멘트값)을 전부 합쳤을 때 0에 가까워야 합니다. 그렇지 않으면
F-15는 빙글빙글 돌테니까요.

F-15가 주익을 한쪽 잃었다면, 나머지 주익에서만 양력이 생기므로 F-15는 남은 주익이 위로 들리는 쪽으로 기울어져서
결국 빙빙돌려고 하게 됩니다. 조종사는 조종간을 반대로 움직여서 이 돌아가려는 힘을 막겠지요.

조종간이 움직이면 실제로 작동하는 부분은 수평꼬리날개와 주익의 에일러론입니다.

예..제가 주익의 중량과 함께 빼먹었던 에일러론이지요.

제가 참고한 Raymer의 \'Aircraft Design, A Conceptual Approach\'에서는 플랩 및 에일러론의 영향을 보상해주는 수식이
포함되어 있습니다.

위에 캡쳐해서 올린 그림 중 수식 16.11이 그것으로, 어떠한 날개의 양력계수(C_L)은 C_L_a * (a + i_w - a_OL)로 정의
됩니다. 여기서 a는 받음각, i_w는 주익 자체의 붙임각, a_OL은 영양력을 위한 받음각입니다. 이 값은 수식 16.14로
구해지는데, 여기에 필요한 변수들은 다시 16.15와 그림 16.6 및 16.7에 나와있는 도표로 구할 수 있습니다.

이 수식을 토대로 F-15의 에일러론이 작동 중일 때 해당 부분의 양력계수를 구할 수 있지요.

앞서의 F-15의 주익정보(A=3.0, 람다=28도)와 비행상황(비행속도가 대략 마하 0.42)를 토대로 계산해 보면,
F-15의 주익은 4.135 정도의 C_L_a 값을 같습니다. 이 값에 라디안 단위로 변환한 받음각을 곱하면 현재
받음각에서의 양력계수가 나옵니다.

즉 받음각이 10도라면 양력계수는 4.135 * 0.1745 rad(=10deg) = 0.72라는 양력계수가 나오지요.

그런데 이러한 양력계수가 나오는 부분은 에일러론이 없는 부분까지입니다.

에일러론이 있는 부분은 수식 16.11에 의하여 수정된 값을 사용하여야 하지요. 만약 동일한 날개,
동일한 조건에서 에일러론이 10도 정도 위로 들려 있다면, 위 수식과 도표등을 참고하엿을 때 이
에일러론이 있는 구간에서는 실제로 주날개가 겪는 받음각은 10도가 아니라 1.16도에 해당하는
값이 나옵니다.

즉 이 에일러론이 있는 부분은 똑같이 받음각이 10도가 되어도 마치 받음각이 1.16도가 된 것과 같은 수준의
양력만을 만들어내게 됩니다. 그 결과 이 부분의 양력계수는 0.72가 아니라 0.084가 됩니다.


다시 한 번 F-15가 처한 상황으로 돌아가보지요. F-15는 왼쪽 날개만 남은 상태이고, 이제 기체는 자꾸
오른쪽으로 기울어지려 합니다. 조종사는 필사적으로 조종간을 왼쪽으로 꺾어서 기울어지려는 기체를 바로잡으려
하였겠지요. 왼쪽 주익의 에일러론은 아랫방향 힘을 만들기 위하여 위로 들어올려졌을 것입니다. 왼쪽의 꼬리날개
역시 아랫방향으로 힘을 만들기 위하여 마이너스 각도로(꼬리의 앞전 부분이 아래로 숙여지는 각도로) 돌아갔을
것이며, 반대로 오른쪽 꼬리날개는 한껏 앞전 부분을 치켜들었겠지요.

그럼 이제 에일러론이 들려있는 주익을 살펴보지요. 날개의 공력중심 위치는 아시다시피 수식이나 작도를 통하여
찾을 수 있습니다. 그러나 이것은 주익의 대부분의 지역의 양력계수가 동일하다고 가정하였을 때의 이야기지요.

만약 에일러론이나 플랩등이 작동중이라면 해당지역만 양력 등이 크게 변하므로 공력중심의 위치도 크게 변하게
됩니다.

이 경우 에일러론이 작동하여 주날개 바깥쪽의 양력을 크게 줄여놓았으므로, 공력중심은 당연히 주날개 뿌리쪽,
즉 몸통쪽으로 이동하였겠지요. 즉 주날개 전체의 입장에서 보았을 때 양력 발생량은 줄어들었겠지만, 대신
공력중심이 몸통쪽으로 이동하여 무게중심과 주날개 공력중심간의 거리가 짧아졌습니다. 이로 인하여 주익이
한쪽만 남아서 생기는 기체를 기울이려는 토크(모멘트)값이 줄어들겠지요(물론 줄어든 양력을 보상하려면 원래
보다 받음각을 더 키워야 하겟지만).

변경된 공력중심은 단순하게 생각하여 에일러론이 있는 주익부분과, 없는 주익부분을 마치 별개의 날개로 생각
하고 계산할 수 있습니다. 뭐 \'내 생각엔 말야, 그럴 거야.\'라고 하면 또 어느분이 니 맘대로 그런 소리 하지 말라고
하시겠지만, 다행스럽게도 저만 그리 생각한 것은 아닌 듯 합니다.

Fig 16.22를 보면 에일러론의 성능을 평가하기 위하여 주 날개의 각 부위를 마치 얇은 띠(strip)처럼 나누어서 각
부분의 양력에 의한 토크(모멘트)를 각각 별도로 계산하여 이것을 모두 합침으로써 날개 전체에서 발생하는 주익의
모멘트를 계산하였지요.

하지만 F-15의 경우에는 에일러론이 날개 폭(span) 방향으로 형상이 크게 변화가 없으므로 수식을 더 단순화하여
에일러론이 있는 쪽 날개와, 에일러론이 없는 쪽 날개로 구분하여 양력과 그로 인한 모멘트를 계산하겠습니다.

수식에 넣기 위해 만든 F-15의 날개 및 에일러론 형상, 그리고 에일러론이 있는 부분과 없는 부분의 예상 공력중심은
위에 제가 작성한 그림을 따랐습니다. 본래 F-15의 주익은 뒷전 후퇴각이 한 번 변하기 때문에 위의 그림과 완전히
동일하지는 않지만 어차피 참고한 논문도 저 형상을 따랐고(Mean Aerodynamic Choard 값을 보면 아실 수 있습니다)
그래서 저도 저 그림을 따랐습니다.

참고로 빗금친 부분이 주익에 포함된 날개부분, 즉 실제로는 없는 가상의 부분입니다. 본 문제에서는 해당 부분에
발생하는 양력을 계산하는 것은 맞지 않으므로 뺍니다.

결론적으로 주익에서 발생하는 모멘트는 두 가지 값을 계산하였는데, 하나는 주황색 테두리를 친 에일러론이 존재
하는 주황색 부분이며 또 하나는 파란색 테두리를 친 에일러론이 존재하지 않는 파란색 부분입니다. 참고로 파란색
부분에는 플랩이 있는데, 착륙속도가 워낙 빨라서 당시 사고가 난 F-15는 플랩을 사용치 않았던 것으로 알려져 있
습니다. 사실 플랩이 펼쳐졌다면 공력중심은 좀 더 동체 중심쪽으로 이동하였겠지만...

수평꼬리날개는 플랩이 따로 없고 전체가 움직이는 것이므로, 수평꼬리날개의 받음각이 변하는 것으로 문제를 설정
하였습니다.

에일러론은 최대 20도, 수평꼬리날개는 음의 방향으로 26도, 양의 방향으로 15도까지 움직일 수 있습니다. 사실
F-15의 경우 본래대로라면 제어계통이 조종사의 입력과 주변 상황에 따라 각각의 각도를 컨트롤 하는 방식이지만
여기서는 문제의 단순화를 위하여 그냥 퍼센테이지로 계산하였습니다.

엑셀의 \'Control\'이라 쓰인 값이 각 조종면의 최대 각도의 해당 퍼센테이지에 해당하는 만큼만 움직입니다. 이를
테면 Control이 0.5면 에일러론은 20도의 0.5인 10도, 수평꼬리날개는 각각 -13도와 7.5도만큼만 움직입니다.

이 내용을 토대로 이제 항공기를 띄워 보지요.

계산의 편의를 위하여 엑셀을 만들었습니다.

이제 조종사는 Lift-Weight 값(양력에서 중량을 뺀 값)을 0으로 만들면서, 더불어 Rolling Moment값(기체를
한쪽으로 기울이려는 힘)도 줄여야 합니다.

조종사가 직접 바꿀 수 있는 것은 받음각(Alpha)값을 Control 값입니다. 이 엑셀에서는 편의를 위하여 받음각
중에서도 Outboard의 받음각만 변하도록 하였으며, 이것을 바꾸면 연동되어 inboard(에일러론이 있는 부분)
과 꼬리날개1, 2로 표시한 부분의 받음각도 바뀝니다. 이를테면 현재 꼬리날개의 타각은 -13도인데 항공기
자체의 받음각이 10도라면 실제 꼬리날개가 겪을 받음각은 10-13=-3도가 되는 셈이지요.

MD사의 설명에 의하면 동체가 전체 양력의 30%를 담당하였다고 합니다. 그래서 동체의 양력은 주날개 및
꼬리날개가 만들어내는 양력(한쪽꼬리날개는 주로 Downforce를 만들어내지만)의 30%를 만들어 낸다고
가정하였습니다.

이제 조종사의 입장이 되어서 Control값과 Alpha값을 이리저리 움직일 차례입니다. 이건 어떤 계산을 통하여
최적값을 찾아낼 방법이 없군요. 예...일일히 손으로 이값 저값 넣어보며 최적 값을 찾아야 합니다(최적화
툴이라도 물릴까 하다가 배보다 배꼽이 더 커져서 관뒀...).


비록 조종간이 아니라 키보드로 숫자를 두드려 넣는 상황이지만, 양력이 모자라 받음각을 높이면 롤 모멘트도
같이 커지고, 그래서 롤 모멘트를 억제하려고 조종력을 높이면 에일러론이 작동함으로써 양력값이 줄어들어
다시 고도가 떨어지는 악순환이 계속되더군요. 뭐 사실 실제의 조종사라면 목숨을 건 사투였겠지만, 이 엑셀에
다 값을 열심히 집어 넣고 있는 저는....음. 뻘짓이군요.

여하간에.

대략 적으로 값을 찾은 듯 합니다.

받음각 11.634, 조종값 0.578865..........네 저 숫자들 전부 제가 양력값과 모멘트 값 변화량 보아가며
일일히 손으로 써 넣어서 찾은 겁니다. 정말 뻘짓이 아닐 수 없군요.


양력 값이 중량을 살짝 오버하였는데, 저 대로라면 사실은 약간 항공기가 떠오르겠군요. 뭐 좀 더 잘 찾아보면
약간 항공기가 가라 앉으면서도 롤링 모멘트는 낮추는 값도 찾을 수 있겠지만, 이게 조종간을 움직이며
기체의 자세를 보아가며 하는 것과 달리 숫자를 직접 손으로 써 넣는 방식이다보니(방식은 아날로그 인데
결과적으로 입력은 디지털 방식...) 너무 포기해서 일단 이정도 선에서 멈췄습니다. 최소한 해당 속도에서
항공기가 추락은 안하고 버틸 수 있다는 건 찾아낸 셈이니까요.

항공기의 받음각 11.63도는 착륙상황이라면 평균적인 값으로 여겨집니다. 주익은 에일러론이 없는 부분에서는
양력계수 0.84, 있는 곳에서는 0.1을 만들어 내고 있군요. 꼬리날개는 왼쪽 꼬리날개는 아랫 방향 양력계수인
-0.17, 반대편 오른쪽 꼬리날개는 0.99에 해당하는 양력계수 값을 갖습니다.


아마 이즈음에서 태클을 거실지도 모르겠습니다. "꼬리날개가 0.99의 양력계수를 만드는 것이 가능해?"

가능합니다.

사실 오스왈드 효율 계수등을 사용하는 고전적인 계산 방법으로는 당연히 불가능한 값입니다. 애당초 F-15에
쓰인것으로 알려진 NACA64-0XX 계열은 2차원 최대양력계수가 1.0을 못넘는 경우가 대부분이니까요. 그러니
3차원 날개, 그것도 받음각도 엄청크고 AR값도 엄청 작은 꼬리날개는 최대 양력계수가 엄청나게 작아야 정상
입니다.

그런데 고전적인 계산 방법으로 측정이 안되는 부분이 있습니다. 바로 얇은 익면, 큰 후퇴각, 작은 가로세로비의
조합으로 만들어내는 와류양력이지요.

이것은 비선형적인 모습을 보이기 때문에 대부분의 경우 위의 C_L_a값 구하는 간단한 수식으로는 찾아내기가
어렵습니다. 그래도 이 값을 찾아내겠다고 발버둥친 용자들이 있었으니, 바로 미 공군이지요.

미 공군은 1970년대에 항공기 개발 초기 단계에서 다양한 형상을 대략적으로 비교하려고 몇 가지 날개 값을
정하면 그에 따른 양력이나 항력, 기타 공력데이터를 뽑을 수 있도록 하려고 각종 이론적 수식과 실험 데이터를
조합하여 그래프등을 통하여 원하는 값을 찾는 엄청난 두께의 책자 몇 권을 만듭니다. 이게 바로 USAF DATCOM
이지요. 뭐 요즈음은 전산화 되어서 텍스트파일 형태의 입력 값을 넣으면 알아서 텍스트파일로 된 아웃풋 값을
토해내도록 되어 있습니다만...(그래서 따로 Digital DATCOM이라 부르는데...사실 요즘 세상에 일일히 그래프 찾아가며
저 공력데이터들 뽑는 사람들이 없으니 DATCOM하면 으례 이 Digital DATCOM을 지칭).

여하간에. DATCOM 돌려서 결과를 보여드린 들 어차피 \'못 믿겠다.\'라고 하면 그만이고, 마침 계속 참고문헌으로
쓰고 있는 Raymer의 책이 이 DATCOM의 일부를 인용하였기에 이제 DATCOM으로 F-15의 꼬리날개가 얼마 정도의
양력계수를 만들어 낼 수 있는지 찾아보지요.

이 DATCOM의 최대양력계수 찾는 방법을 적용시 F-15의 수평꼬리날개는 \'낮은 가로세로비\'를 갖는 날개로 정의됩니다.
이 낮은 가로세로비를 갖는 날개는 테이퍼 값을 통하여 C1, C2라는 변수를 찾는데 (그림 12.11) F-15의 수평꼬리날개의
테이퍼값은 0.34 정도입니다. 그래프를 참조하였을 때 C1=0.5, C2=1.0 정도가 되는군요.

F-15의 수평꼬리날개는 가로세로비 2.0, 현재 비행환경인 베타 값은 (1-0.42^2)^0.5=0.9075(아까 주익의 양력계수 계산하던
수식 12.7 참조), 후퇴각은 50도입니다.

이 값을 토대로 하면 그림 12.12의 그래프에서 X축은 2.1 정도의 값을 갖습니다.

델타 Y는 에어포일 자체의 특성을 반영한 것으로, NACA 64A 계열의 델타 Y는 21.3*두께비이므로 꼬리날개의 에어포일의
두께비가 대략 0.004인듯 하니 델타Y=21.3*0.004=0.085. 그러므로 12.12 그래프에서 X축 2.1, 델타 Y=0.08 정도 되는
값을 찾으면 (Clmax)base 값이 0.9를 약간 넘겠군요. 0.96 정도?

그림 12.13을 보면 여기에 보정값을 더하도록 되어있습니다. 아까 그래프에서 C2=1.0 이었지요. 받음각은 2, 후퇴각은
50도이므로 그림 12.13의 그래프에서 X축방향 값은 4.8 정도가 될 것입니다. 마하수는 0.4인 상황이니 다행히 보정값이
최대 양력계수를 깎아 먹지는 않는군요. 보정 값인 델타C_L_max 값은 0.05 정도가 될 듯 합니다.

즉 수평꼬리날개의 최대 양력계수는 0.96+0.05=1.1 정도가 됩니다. 애당초 필요하였던 값인 0.99를 생각하면 마진 값이
크지는 않지만, 여하간에 수평꼬리날개처럼 후퇴각 크고 가로세로비 작은 날개가 양력계수가 1.0에 근접하는 것이 꿈은
아니라는 소리지요.



자, 결론입니다. 저는 3년전에 공력중심을 잘못 잡고 중량 값도 잘못 계산하는 실수를 범하였습니다. 또한 에일러론에 의한
영향도 빼 먹었군요.

그래서 에일러론, 그리고 수평꼬리날개의 영향과 각 조종면의 최대 타각(deflection angle)을 고려하여 다시 계산하였습니다.

계산방식은 1950년대에 만들어진 수식이지만(저 수식의 정확도가 크게 떨어진다는 소리는 물론 아닙니다. 실제로 그 당시 
만들어진 날개에서는 실험결과와 비교적 잘 맞는 식입니다) 저 혼자 계산하는 것이 아니라 다른 사람도 동일한 방법으로
계산할 수 있는 잘 알려진 수식을 사용하였습니다. 플루언트 보다는 이쪽이 저도 손이 덜가서 편하긴 하군요.

가정한 조건은 F-15가 고도를 유지하기 위하여 주날개, 수평꼬리날개, 동체 모두 합쳐 자체 중량인 34005lb = 151254.2N보다
큰 양력을 만들어 내야 하는 것과, 그 상황에서도 롤링 모멘트가 0에 근접해야 한다는 것입니다. 그래서 각 조종면이 최대
변위각과 비교하여 동이한 퍼센테이지로 움직인다고 가정하였습니다.

그리고 엄청난 뻘짓이라고 생각하지만 여하간에 받음각과 조종값을 손으로 찾아가며 롤 모멘트가 0에 근접
하면서도 항공기는 고도를 유지할 수 있는 상황을 찾았습니다.

수평꼬리날개의 양력계수에 의심을 갖을 분들을 고려, 이 부분은 DATCOM 방식을 따라서 최대 양력계수가
1.0 전후에 올 수 있다는 점을 확인하였습니다.


한줄 요약 : 뻘짓.