미국 주요대학에서 20년이상 대수를 가르친 교수의 대수학 강의 홈페이지
<U>http://www.purplemath.com/modules/orderops2.htm</U>
연산순서에 관한내용임 주요부분 번역하면...

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이 다음 예제는 거의 보기 힘들지만 등장하면 끝없는 논쟁을 야기한다.

16 ÷ 2[8 – 3(4 – 2)] + 1

16 ÷ 2[8 – 3(4 – 2)] + 1
    = 16 ÷ 2[8 – 3(2)] + 1
    = 16 ÷ 2[8 – 6] + 1
    = 16 ÷ 2[2] + 1   (**)
    = 16 ÷ 4 + 1
    = 4 + 1
    = 5

혼란스러운 부분은 16 나누기 2[2] + 1 (별표2개 표시한) 이  "8 곱하기 2 +1" 대신 "16 나누기 4

+ 1"인지의 여부이다. 이는 비록 곱셈과 나눗셈이 같은 우선순위를 가지므로 좌우순서규칙이 적용

되어야 할 지라도 괄호는 나눗셈 보다 우선이므로 첫번째 2는 16을 나누기 전에 [2]와 우선 곱해져

야하기 때문이다. 말하자면 괄호와 함께 있는 곱셈은 일반적인 곱셈보다 더 강력하다는 것이다.

그래픽계산기로 풀어보면 이 계층구조를 알 수 있다.

16/2(8-3(4-2))+1 = 5
16/2(8)  <--괄호사용-->     = 1
16/2*8   <--괄호미사용-->   = 64

소프트웨어의 차이에 따라 결과가 다를수 있다. 심지어 같은 Texas Instruments 의 기종이더라도

말이다. 이렇게 모호할 경우 괄호를 사용하여 결과를 명확히 해라. 수학하는 사람의 일반적인 합의는 "병치

된 곱셈" (*를 안쓰고 그냥 옆으로 붙여놓은)은 다른 연산보다 우선한다는 것이다. 하지만 모든 소프트웨어

가 이 방식으로 프로그램되지는 않고, 어떤 선생님은 다르게 생각할 것이다. 궁금하면 질문을 해라!

(<U>이 문제에 관해 나에게 질문메일을 보내거나 명확한 답을 제시하지 마시오. 내가 아는 한 명확한 </U>

<U>답은 없고, 나에게 당신의 답을 얘기하는게 이 문제를 해결하지 못한다</U>.)
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또 어느 공학자가 이 문제에 관해 수학자에게 질문한 문답을 정리한 홈페이지를 번역하면
<U>http://mathforum.org/library/drmath/view/57021.html</U>

Date: 02/13/2000 at 13:59:53
From: Jrome Breitenbach
Subject: Order of Arithmetic Operations

하이, 나는 전기공학교수다. 나는 학생들에게 사칙연산의 순서에 대해 상기시킬 일이 있었다.
내가 여러 웹사이트와 여러 온라인 토론그룹을 알아본 결과 이 단신한 규칙에 대해 논쟁이 있어보였다.
예를 들어,
  Mathnerds\' Archive
  <U>http://www.mathnerds.com/archive/DetailedAnswer.asp?index=12768</U> (문서 사라짐)
를
 Order of Operations, Electronics Mathematics (ELET141)
  <U>http://www.csi.edu/ip/ti/elec/math1-5e.htm</U>                      (문서 사라짐)
비교해봐라.
            (위 문제에 대한 상반된 의견의 홈페이지 같음)

아아, 이 문제에 대한 어떤 "권위"를 찾으려는 내 노력은 거의 성과가 없었다.
내가 찾은 가장 근접한 것은 the _Mathematical Reviews_ of the American Mathematical Society

(AMS)에서 약속한 거였다.

  Mathematical Reviews Database - Guide for Reviewers
  <U>http://www.ams.org/authors/guide-reviewers.html</U>              (문서 사라짐)

"병치된 곱셈은 나눗셈 이전에 계산한다" 말하자면, 변수 a,b,c 에 대해 a/bc = a/(bc) 이란 것이다.
[물론, b,c는 0이 아니다.] 이 약속은 내가 본 여러 수준의 많은 수학책에서 일관성이 있어 보인다

.
예를들어, Allendoerfer 와 Oakley가 저술한 Principles of Mathematics_,1969 (내 대학가기전 수학책)
의 84페이지를 보면

(a / b) x (c / d) = a c / b d

라는 식이 있다.

이것은 오른쪽 항을  (a c) / (b d)
라고 생각해야 옳을 것이다.

오른쪽 항을      [(a c) / b] d
라고 생각한다면 위 등식은 성립하지 않는다.

위 첫 홈페이지(그리고 기타 여러홈페이지)에서 "곱셈과 나눗셈은 그 순서대로 계산한다"라고 말한

다. 그러나 아마도 그 홈피는 "함축된 곱셈"(병치에 의해서)을 암묵적으로 무시하는것 같다. 그리

고 오로지 "명확한 곱셈"(*기호가 표시된것 같은)만을 고려하는 것 같다.  아래 홈피처럼

Order of Operations - Dr. Math Archives
<U>http://mathforum.org/dr.math/problems/wuandheil.05.19.99.html</U>

[[[[[[ 위 문제에 관한 이 수학자의 이전 답변 페이지다. 짧게 요약하면
 ax/by 의 풀이애 대한 답으로 (ax/b)*y이 맞다고 제시하였고 함축된곱셈이 우선시 된다는 책이
 있지만 일반적인 규칙이라고 인정할수 없으며,

<U>http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.typing.math.html</U> 를 링크했는데
이 페이지 일부내용이 대충 2x분의1 을 쓰려면
1
--  나  1/(2x)를 쓰고 1/2x를 쓰지 말라는 것이다. 1/2x는 x의1/2로 생각될수 있다라는 것이다.
2x
또한 실제로 TI사가 위 문제에 대한 명확한 룰을 못찾아서, 82모델과 83모델에서 계산방식이 변경

된 예를 든다]]]]]]

불행히도, 나는 곱셈 나눗셈의 좌우순서규칙만 주장하는 사람이 그 규칙을 실제로 적용하는 문제를

보지 못했다. 아래 문제는 어떨까

6 / 2 x 3

그들의 룰을 따르면

6 / 2 x 3 = (6 / 2) x 3 = 9 이다.

그러나 모든 병치되거나 병치되지 않은 곱셈에 대해 the AMS convention 의 약속을 따르는 게
혼동이 적어 보인다.

     6 / 2 x 3 = 6 / (2 x 3) = 1

우리가 아래와 같은 답을 얻듯이 말이다.

     a/bc = 1

a = 6, b = 2 and c = 3 일때

---중략(공학교수는 더 나아가 모든 곱셈을 나눗셈보다 먼저 계산하자고 주장한다)---

답변 부탁한다.  Sincerely, Jrome Breitenbach

P.S 어떤 사람은 계산기나 프로그래밍 언어를 참고해서 이 연산순서에 대한 주장을 하곤 하는데
나는 그건 의미없다고 본다. 예냐하면 그런 계산기기에 편리하다고해서 사람이 직접 쓰는 것에도
편리하다고는 할 수 없기 때문이다.

========수학자의 답변==================
ate: 02/13/2000 at 23:05:28
From: Doctor Peterson
Subject: Re: Order of Arithmetic Operations

Hi, Jrome.

좋은 지적이다. 나는 곱셈을 나눗셈보다 먼저 하자는 당신의 의견이 좀 더 쉽고 일관성이 있다는

것에는 동의하지만, 그것이 맞다는 어떤 권위도 찾을 수 없다. 그래서 이에대한  보편적인 규칙이

없다는 데 신중한 접근이 필요할 것이다. 나도 사칙연산의 순서에 대한 사회학자들의 공식적인 진

술을 찾다가 당신이 찾아낸 AMS reference 을 똑같이 발견하였다. 사실은 그들이  단지 이 하나의

규칙만을 주목한다는 것은 이 하나의 규칙이 앞으로 점점 더 수용되기는 하겠지만, 현재는 보편적

인 동의가 없다는 것을 나타낸다.

나는 연산의 순서에 대한 역사를 연구해왔다. 그리고 우리 FAQ 참고 중 하나는 내가 이미 언급한

진술을 포함하고있다. 곱셈-나눗셈 규칙이 완벽하게 받아들여진적이 없다는 것 말이다.

Earliest Uses of Symbols of Operation - Jeff Miller
<U>http://jeff560.tripod.com/operation.html</U> 
[[[[[[[ 주요 내용 요약

미국 연산순서의 역사
In 1892 in Mental Arithmetic, ÷× 를 함께 쓰는 것을 피해라
In 1898 in Text-Book of Algebra  a÷b×b = (a÷b)×b.
In 1907 in High School Algebra, 곱셈이 나눗셈에 우선하며 나눗셈은 순서대로 한다.
In 1910 in First Course of Algebra  ÷ × 나온 순서대로 계산한다.
In 1912, First Year Algebra 곱셈나눗셈을 먼저 좌우순서로 하고 덧셈뺄셈을 그 후에 좌우순서로

한다.
In 1913, Second Course 제곱근이나 묶여진 기호를 먼저하고 곱셈나눗셈을 그후에 덧셈뺄셈을 그

후에 좌우순서로 한다.
In 1917, "The Report of the Committee on the Teaching of Arithmetic in Public Schools,"

Mathematical Gazette 8, p. 238, 모호함을 피하기 위해선 괄호를 사용하라.
In A History of Mathematical Notations (1928-1929) Florian Cajori writes (vol. 1, page 274),

"÷ and ×가 들어간 대수식에서 어느게 우선인지에 대한 동의는 현재 없다."

현재의 교과서는 모든 곱셈,나눗셈이 좌우로 계산되는 것에 동의한다. 2011년 Prentice Hall 출판

사에서 발간한 나의 "플로리다 대수"에서  3st^2 ÷ st + 6 를 주어진 값에서 계산하라고 문제를

냈는데 답은 st로 나누는 걸 전제로 한다. 출판사는 이 표현이 모호하다는 것을 인정하고 다음판에

서는 (st)를 사용할 것을 약속하였다.]]]]]]]]]]

나는 당신이 내가 배운것과는 다른 규칙을 배웠다는 데 깜짝 놀랐다.(내가 동등순위 법칙을 프로그

래밍 수업에서 첨 배웠는지는 확실하지 않다.)

대수식이 첨 개발되었을때 각 저자는 그의 식을 먼저 설명하는 것은 상식이있다.  우리가 저자가

당신의 규칙을 따른다는 것을 믿고, 무엇을 쓰든지 첨부터 설명한다면 우리는 그것을 받아들일 것

이다. 나는 지금도 위와 같이 해야한다고 본다. especially with the development of publishing

software, mathematicians can easily avoid in-line expression!s of the sort you refer to in

published works 그리고 이메일에서 괄호를 사용하는 것이 규칙을 알든 모르든 오해를 없애는 데

유용할 것이다.

나는 이것이 사람들을 헷갈리게하는 자세한 룰을 만드는 것보다 유용할 것이라고 생각한다. 어떨

땐 한 룰이 자연스럽고 어떨 땐 다른 것이 자연스럽다. 그래서 사람들은 우리가 이 영역에서 가르

치기로 선택한 어떤 룰도 잊을 것이다. 나는 무지 많은 학생들에게 이 룰을 테스트할 수 있는 예제

를 달라는 말을 듣고 아래의 표현을 풀어보라고 한다.

6/2(3)

이것은 너무나 모호해서 어느 합리적인 수학자도 이 표현을 쓰지 않을 것이다. 그리고 규칙이 어쨌

든 간에 우리는 학생들이 "1/2x"를 (x의 반)의 의미로 쓰는 것을 빈번히 볼 수 있다.  그러므로 우

리는 규칙에 집착하기 보단 합리적 추측을 하는 것이 나을 것이다.

- Doctor Peterson, The Math Forum
 <U>http://mathforum.org/dr.math/</U> 

아까 어떤 형이 해석한거임.