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2019-03-11

[📃칼럼] 2차원토크 두문제 풀이앱에서 작성

Itsutsugo

2021.02.23 20:19:58

조회 6687 추천 52 댓글 17

씹덕떡밥굴리고 뻘글싸고 갤 분위기 존나흐린것같아서

회개의 칼럼비스무리한거 써봅니다..

평면상에서 계에 작용하는 토크 구하기

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회전축과 한 힘(과 그 작용점)이 주어졌을때,

회전축을시점으로 힘의작용점을종점으로 하는

벡터를 그 힘의 회전팔이라고 한다. 이때

힘의 회전팔에 나란한 성분은 토크를 유발하지 않고

힘의 회전팔에 수직인 성분만 토크를 유발한다

따라서 이때 토크의 크기는

회전팔의 길이와 힘의 회전팔에 수직한성분의 크기의 곱으로 구할수있다

그리고 이미지에서와 같이 sin@를 F가아닌 r에 곱한것으로 나타냈을때 이를

회전축에서

힘벡터를 연장한 직선(이를 작용선이라 한다)에

내린 수선(이를 모멘트팔이라 한다)의 길이 r*sin@와

힘의 크기의 곱으로 볼수있다

정리해보면 평면상에서 한 힘에의한 토크의 크기는

1.회전팔의 길이(r)*힘의 회전팔에 수직한 성분의 크기(F*sin@)

또는

2.모멘트팔의 길이(r*sin@)*힘의 크기(F)

로 구할수있다

토크의 경향(시계or반시계)은

회전팔벡터와 힘벡터의 시점을 일치시킨후

각이 작은쪽으로 r벡터->F벡터 순서로 오른손으로 감아쥔 방향이다 (사실 이렇게 안구해도 대부분 바로 직관적으로 보인다)

(3차원 벡터곱을 안다면 토크벡터는 r벡터와 F벡터를 이순서대로 벡터곱한 것으로 정의됨을 알면 된다)

그리고 1차원에서와 마찬가지로

계가 정적평형을 이루고 있을때

아무지점이나 회전축으로 정해도

토크평형은 성립한다(심지어 계 외부의 점에 대하여도 성립한다. 이것의 활용은 갓그랑 칼럼을 참고)

(토크평형일 필요충분조건은

시계방향 토크의 크기합=반시계방향 토크의 크기합 인것이다)

필수본 기준 1번 방법만 간단히 소개돼있고 2번 방법의 언급이 없어서

각 문제를 2번 방법으로 푸는 예시를 보여드리겠습니다

2020년 9월 경북교육청 모의고사 20번

사다리+사람이 정적평형을 이루고있으므로

1.x방향 힘의평형

2.y방향 힘의평형

3.임의의축에대하여 토크평형

을 모두 만족한다

이때 축을 힘의 작용점들중 가장 많은 갯수의 힘이 작용하는 점으로 정하면 계산상의 편의를 얻을수있다

축을 그림과같이 설정하면

토크평형 적용시 축에 작용하는 마찰력과 수직항력(특히 수직항력)을 고려하지 않아도 되므로

굳이 y방향 힘의평형을 이용해 수직항력을 구하지 않아도 된다

1.x방향 힘의평형에 의해 벽이 사다리를 미는 힘은 오른쪽으로 f이다

2.생략가능

3.사다리 밀도가 균일하므로 사다리의 무게는 사다리의 정 중앙에 작용한다

힘과 작용점이 모두 구해졌으므로 모멘트팔을 이용해

각 힘이 유발하는 토크의 크기를 구하여 그림과같이

토크평형식을 세우면 f의크기를 구할수있다

성능좋은모의고사 20번 후보문항

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계가 정적평형을 이루고 있으므로

전 문제와 같이 1,2,3을 만족한다

다만 이 문제에선 mg와 T의 관계식만 필요하므로

수평면과 나무도막이 접하는 점을 축으로 잡은 후

3만 이용해줘도 충분하다

1차원에서의 돌림힘 변화량 풀이를 생각해보자

그와 유사하게

(가)와 (나)에서

반시계방향 토크는 mg에의해서만,

시계방향 토크는 각 장력에 의해서만 유발된다

그리고 반시계방향토크의 크기가 두 상황에서 같으므로

토크평형에 의해 시계방향 토크의 크기또한 두 상황에서 같다

이때 장력의 크기가 (가):(나)=1:3이므로

모멘트팔의 길이는 (가):(나)=3:1이다

각 모멘트팔의 길이를 3r , r 로 두고

그림에서와 같이

중1등1기1하로 세타와 r을 구해준 후

토크평형을 적용하면 T의 크기를 구할수있다

고정닉 15

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