교과외) 비오 - 사바르의 법칙과 앙페르의 법칙

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2019-03-11

[📃칼럼] 교과외) 비오 - 사바르의 법칙과 앙페르의 법칙앱에서 작성

Lagrangian

2020.02.12 03:56:53

조회 6660 추천 36 댓글 17

라그랑이야ㅎㅎ

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안녕! 라그랑이야!

오늘은 교과서에 그냥 띡 하고 던져진 직선 도선, 원형 도선, 그리고 솔레노이드가 만드는 자기장 공식이 왜 그렇게 나왔는지 에 대해 설명할거야

매번 수능에 도움도 안되는 쓸데없는거 갖고와서 미안ㅠㅠ

먼저 자기장을 생각하기 전에,

익숙한 쿨롱법칙을 갖고와봤어

(+Q는 근원전하 -q는 시험전하)

이 법칙을 떠올리게 된 이유를 생각해 보자

우선 정지해있는 근원전하가 전기장을 만들고, 그 전기장에 시험전하가 반응한다고 생각할거야

그렇다면 전기장은 당연히 Q에 비례할거고, 3차원 모든 방향으로 퍼져나가니 4πr²에 반비례하겠지?

그런데 만약 공간이 진공이 아닌 다른 무언가(유전체)로 채워져있다면?

그럼 이런식으로 주위를 채운 물질이 분극될거고, 분극된 전하에 의해 생기는 전기장은 근원 전하가 만드는 전기장과 반대방향이기 때문에 전기장의 세기를 감소시킬거야

따라서 이 분극 되는 정도를 ε(유전율)이라 하면 다음식이 성립하지

여기서 진공일때의 ε을 ε_0라 하고 1/4πε_0를 쿨롱상수 k로 치환하면 우리가 흔히 아는 식이 나오는거지

자 이제 다시 자기장을 보자

우리는 움직이는 전하가 자기장을 만들고, 그 자기장에 움직이는 전하가 반응한다고 생각할거야

다르게 생각하면 전류가 자기장을 만들고, 그 자기장에 움직이는 전하가 반응한다고 생각해도 무방하겠지?

아래와 같은 도선에 일정한 전류 I가 흐르고 있다고 하자.

전류는 굳이 직선으로 안흘러도 되니, 길이가 ds인 매우 작은 조각으로 잘개 쪼개서 생각해보자.

아까 쿨롱법칙과 마찬가지로 자기장의 크기는 Ids에 비례할거고, 3차원 모든 방향으로 퍼져나가므로 4πr²에 반비례 할거야.

추가적으로 자기장은 수직인 성분만을 살려주므로 sinθ가 붙겠지

그런데 전기장은 주변에 유전체가 있는경우 분극에 의해 전기장이 약해졌지만,

전자석 실험을 떠올려 봐봐 자기장은 무언가를 넣으면 크기가 더 커져

이때 이 비례상수를 μ(투자율)이라 하고, 위의 내용들을 종합하여 생각하면 (진공에서의) ds가 만드는 자기장의 크기는

와 같아.

실험적으로 측정한 결과 (μ_0)/4π = 10^(-7)이고, 따라서 μ_0 = 4π × 10^(-7) 이지

이를 비오 - 사바르의 법칙(Biot - Savart law)라고 해

자 이제 직선 도선에 의한 자기장을 구해보자

(그림에는 표시 되어있지 않지만 r은 도선과 전하사이의 거리)

교과서에서는 무한직선, 즉 φ_1 과 φ_2가 90°로 갈 때를 생각하므로

자기장의 크기는 B = (μ_0I)/(2πr)이고

여기서 (μ_0)/(2π)를 k = 2×10^(-7) 로 치환하면 익숙한 식이 나오게 되는거지

이번에는 원형 도선에 의한 자기장을 구해보자

전류가 들어오는곳과 나가는 곳은 θ=0이므로 자기장을 만들지 않아.

교과서에서는 원일때(φ=2π)를 생각하므로

자기장의 크기는 B=(μ_0I)/(2r)이고

(μ_0)/2를 k' = 2π × 10^(-7)으로 치환해준거지

비오 - 사바르의 법칙 연습문제

연습문제 1) 원형 전류 고리의 중심축에서 거리 x만큼 떨어진 곳의 자기장의 크기 구하기.

연습문제 2) 타원의 초점에서의 자기장의 크기 구하기.

다른 방법으로 자기장을 구해보자

전류 I가 지면을 뚫고 나오는 쪽으로 흐르는 무한 직선 도선이 이 있고, 그 주위로 우리가 반지름이 r인 원 둘레를 돌고있다고 생각해보자

이때 우리가 느끼는 B = (μI)/(2πr)이지

(여기서 부터 내가 쓰는 μ는 다 진공에서의 투자율 μ_0라고 생각해)

자기장에다 우리가 움직인 경로를 곱해보자

B × 2πr = μI

이번에는 반지름이 r인 원을 θ만큼 돌다가 중간에 kr인 원을 φ만큼 돌아보자

폐곡선(닫힌곡선)을 그릴것이며 반지름이 r인 원에서 반지름이 kr인 원에 이동할 때는 돌지 않을거야

다시 이동경로에 자기장을 곱해주자.

그런데 아까와 달리 B벡터와 ds벡터가 이루는 각의 cos값도 같이 곱해줄거야

(μI)/(2πr) × θr × cos 0 + (μI)/(2πkr) × φkr × cos 0 + B(r) × 나머지경로 × cos (π/2) = μI

이를 일반화하면

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이를 앙페르의 법칙 (Ampère's law)라고 해

저 인테그랄은 폐곡선을 따라 적분한단 뜻이야

주의해야 할 점은 우리가 이동한 경로(앙페르의 곡선 혹은 루프)는 폐곡선이라는 것과 우변의 I는 폐곡선 내부의 전류의 총 합이라는 거야

일반화한 증명은 극좌표를 사용해야 하므로 패스

일반물리에서 할 때까지 기다려

이를 이용해서 이상적인 솔레노이드가 만드는 자기장을 구해보자.

솔레노이드를 위에서 보면 한 쪽은 지면을 뚫고 나오는 방향의 전류가 흐르는 도선들이 나열한 것처럼 보일거고,

다른 한 쪽은 뚫고 들어가는 방향의 전류가 흐르는 도선들이 나열된 것처럼 보일거야

위의 도선들만 따로 생각하자

아래와 같이 직사각형 모양의 루프를 잡자

이 때 가로의 길이가 l, 루프 안의 도선의 개수를 N개라 하고 앙페르의 법칙을 사용하면

루프의 세로와 자기장이 이루는 각의 cos값은 0임을 생각해

아래의 도선들도 생각해주면

파란색: 위 도선들에 의한 자기장

빨간색: 아래 도선들에 의한 자기장

따라서 솔레노이드 외부 자기장은 0이고

내부 자기장은 μ(N/l)I로 일정해

μ를 k" N/l을 n으로 바꾼게 교과서에서 나오는 솔레노이드 내부 자기장 공식이지

앙페르의 법칙 연습문제

연습문제 1) 솔레노이드를 반지모양으로 만든 것을 토로이드라고 한다. 토로이드 내부 자기장은 다음과 같음을 보여라

연습문제 2) 그럼 토로이드 외부 자기장은 얼마인가?

연습문제 3) 균일한 전류가 흐르는 도선 내부의 자기장은 얼마인가?

이히히힣 3시간동안 써서 너무 힘들어

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뱌뱌

물리할래??

고정닉 9

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