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[칼럼] 교과외) 비오 - 사바르의 법칙과 앙페르의 법칙앱에서 작성

Lagrangian갤로그로 이동합니다. 2020.02.12 03:56:53
조회 6439 추천 36 댓글 17
														

라그랑이야ㅎㅎ

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안녕! 라그랑이야!

오늘은 교과서에 그냥 띡 하고 던져진 직선 도선, 원형 도선, 그리고 솔레노이드가 만드는 자기장 공식이 왜 그렇게 나왔는지 에 대해 설명할거야

매번 수능에 도움도 안되는 쓸데없는거 갖고와서 미안ㅠㅠ


먼저 자기장을 생각하기 전에,
익숙한 쿨롱법칙을 갖고와봤어

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(+Q는 근원전하 -q는 시험전하)

이 법칙을 떠올리게 된 이유를 생각해 보자

우선 정지해있는 근원전하가 전기장을 만들고, 그 전기장에 시험전하가 반응한다고 생각할거야

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그렇다면 전기장은 당연히 Q에 비례할거고, 3차원 모든 방향으로 퍼져나가니 4πr²에 반비례하겠지?

그런데 만약 공간이 진공이 아닌 다른 무언가(유전체)로 채워져있다면?

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그럼 이런식으로 주위를 채운 물질이 분극될거고, 분극된 전하에 의해 생기는 전기장은 근원 전하가 만드는 전기장과 반대방향이기 때문에 전기장의 세기를 감소시킬거야

따라서 이 분극 되는 정도를 ε(유전율)이라 하면 다음식이 성립하지

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여기서 진공일때의 ε을 ε_0라 하고 1/4πε_0를 쿨롱상수 k로 치환하면 우리가 흔히 아는 식이 나오는거지


자 이제 다시 자기장을 보자

우리는 움직이는 전하가 자기장을 만들고, 그 자기장에 움직이는 전하가 반응한고 생각할거야

다르게 생각하면 전류가 자기장을 만들고, 그 자기장에 움직이는 전하가 반응한다고 생각해도 무방하겠지?

아래와 같은 도선에 일정한 전류 I가 흐르고 있다고 하자.

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전류는 굳이 직선으로 안흘러도 되니, 길이가 ds인 매우 작은 조각으로 잘개 쪼개서 생각해보자.

아까 쿨롱법칙과 마찬가지로 자기장의 크기는 Ids에 비례할거고, 3차원 모든 방향으로 퍼져나가므로 4πr²에 반비례 할거야.

추가적으로 자기장은 수직인 성분만을 살려주므로 sinθ가 붙겠지

그런데 전기장은 주변에 유전체가 있는경우 분극에 의해 전기장이 약해졌지만,

전자석 실험을 떠올려 봐봐 자기장은 무언가를 넣으면 크기가 더 커져

이때 이 비례상수를 μ(투자율)이라 하고, 위의 내용들을 종합하여 생각하면 (진공에서의) ds가 만드는 자기장의 크기는

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와 같아.

실험적으로 측정한 결과 (μ_0)/4π = 10^(-7)이고, 따라서 μ_0 = 4π × 10^(-7) 이지

이를 비오 - 사바르의 법칙(Biot - Savart law)라고 해


자 이제 직선 도선에 의한 자기장을 구해보자

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(그림에는 표시 되어있지 않지만 r은 도선과 전하사이의 거리)

교과서에서는 무한직선, 즉 φ_1 과 φ_2가 90°로 갈 때를 생각하므로

자기장의 크기는 B = (μ_0I)/(2πr)이고

여기서 (μ_0)/(2π)를 k = 2×10^(-7) 로 치환하면 익숙한 식이 나오게 되는거지


이번에는 원형 도선에 의한 자기장을 구해보자

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전류가 들어오는곳과 나가는 곳은 θ=0이므로 자기장을 만들지 않아.

교과서에서는 원일때(φ=2π)를 생각하므로
자기장의 크기는 B=(μ_0I)/(2r)이고

(μ_0)/2를 k' = 2π × 10^(-7)으로 치환해준거지


비오 - 사바르의 법칙 연습문제

연습문제 1) 원형 전류 고리의 중심축에서 거리 x만큼 떨어진 곳의 자기장의 크기 구하기.

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연습문제 2) 타원의 초점에서의 자기장의 크기 구하기.

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다른 방법으로 자기장을 구해보자

전류 I가 지면을 뚫고 나오는 쪽으로 흐르는 무한 직선 도선이 이 있고, 그 주위로 우리가 반지름이 r인 원 둘레를 돌고있다고 생각해보자

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이때 우리가 느끼는 B = (μI)/(2πr)이지
(여기서 부터 내가 쓰는 μ는 다 진공에서의 투자율 μ_0라고 생각해)

자기장에다 우리가 움직인 경로를 곱해보자

B × 2πr = μI


이번에는 반지름이 r인 원을 θ만큼 돌다가 중간에 kr인 원을 φ만큼 돌아보자

폐곡선(닫힌곡선)을 그릴것이며 반지름이 r인 원에서 반지름이 kr인 원에 이동할 때는 돌지 않을거야

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다시 이동경로에 자기장을 곱해주자.
그런데 아까와 달리 B벡터와 ds벡터가 이루는 각의 cos값도 같이 곱해줄거야

(μI)/(2πr) × θr × cos 0 + (μI)/(2πkr) × φkr × cos 0 + B(r) × 나머지경로 × cos (π/2) = μI

이를 일반화하면

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이를 앙페르의 법칙 (Ampère's law)라고 해
저 인테그랄은 폐곡선을 따라 적분한단 뜻이야

주의해야 할 점은 우리가 이동한 경로(앙페르의 곡선 혹은 루프)는 폐곡선이라는 것과 우변의 I는 폐곡선 내부의 전류의 총 합이라는 거야

일반화한 증명은 극좌표를 사용해야 하므로 패스
일반물리에서 할 때까지 기다려

이를 이용해서 이상적인 솔레노이드가 만드는 자기장을 구해보자.


솔레노이드를 위에서 보면 한 쪽은 지면을 뚫고 나오는 방향의 전류가 흐르는 도선들이 나열한 것처럼 보일거고,
다른 한 쪽은 뚫고 들어가는 방향의 전류가 흐르는 도선들이 나열된 것처럼 보일거야

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위의 도선들만 따로 생각하자

아래와 같이 직사각형 모양의 루프를 잡자

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이 때 가로의 길이가 l, 루프 안의 도선의 개수를 N개라 하고 앙페르의 법칙을 사용하면

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루프의 세로와 자기장이 이루는 각의 cos값은 0임을 생각해

아래의 도선들도 생각해주면

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파란색: 위 도선들에 의한 자기장
빨간색: 아래 도선들에 의한 자기장

따라서 솔레노이드 외부 자기장은 0이고
내부 자기장은 μ(N/l)I로 일정해

μ를 k" N/l을 n으로 바꾼게 교과서에서 나오는 솔레노이드 내부 자기장 공식이지


앙페르의 법칙 연습문제

연습문제 1) 솔레노이드를 반지모양으로 만든 것을 토로이드라고 한다. 토로이드 내부 자기장은 다음과 같음을 보여라

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연습문제 2) 그럼 토로이드 외부 자기장은 얼마인가?


연습문제 3) 균일한 전류가 흐르는 도선 내부의 자기장은 얼마인가?


이히히힣 3시간동안 써서 너무 힘들어

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뱌뱌

물리할래??

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