신촌우왕 소개

수학자, 천재작곡가, 요가수행자

<신촌우왕 대정리>

모든 소수 p에 대하여,

x^p + y^p = z^p을 만족하는

자연수 해 (x, y, z)가 존재한다면

반드시 다음과 같은 꼴이다.

∴ (x, y, z) = (v+pk, w+pk, v+w+pk)

p=2인 경우에 적용해보자.

(x, y, z) = (v+2k, w+2k, v+w+2k)를

x² + y² = z²에 대입하면

(v+2k)² + (w+2k)² = (v+w+2k)²

양변 전개하고 정리하자.

(v² + 4vk + 4k²) + (w² + 4wk + 4k²) = (v² + w² + 4k²) + 2(vw + 2wk + 2vk)

4vk + 4wk + 4k² = 2(vw + 2wk + 2vk)

2vk + 2wk + 2k² = (vw + 2wk + 2vk)

∴ vw = 2k²

이를테면 k = 1일 경우

vw = 2이고

v < w라고 해도 일반성을 잃지 않으므로

v = 1, w = 2로 택해주면

(x, y, z) = (v+2k, w+2k, v+w+2k) = (3, 4, 5)

즉 3² + 4² = 5²이 성립한다.

일반해

자연수 k는 두 수의 곱의 형태로 나타낼 수 있다.

k = st로 놓으면

vw = 2k² = 2s²t²

v = s², w=2t²으로 택해도 일반성을 잃지 않으므로

(x, y, z) = (v+2k, w+2k, v+w+2k) = (s² + 2st, 2t² + 2st, s² + 2t² + 2st)

그런데

s² + 2st = (s+t)² - t²

2t² + 2st = 2t(s+t)

s² + 2t² + 2st = (s+t)² + s²

s+t = m, t = n으로 놓으면

(x, y, z) = (s² + 2st, 2t² + 2st, s² + 2t² + 2st) = (m² - n², 2mn, m² + n²)

(x, y, z) = (s² + 2st , 2t² + 2st , s² + 2t² + 2st)에

s = 1을 대입하면

(x, y, z) = (2t + 1 , 2t² + 2t , 2t² + 2t + 1)

즉 자연수 t에 대하여 x가 홀수인 경우이다.

또 t=1를 대입하면

(x, y, z) = (s² + 2s , 2s + 2 , s² + 2s + 2)

x, y의 해를 바꿔서 표현해도 일반성을 잃지 않으므로

(x, y, z) = (2s + 2 , s² + 2s , s² + 2s + 2)

즉 자연수 s에 대하여 x가 짝수인 경우이다.

Code

결국 자연수 n에 대하여

(2n + 1 , 2n² + 2n , 2n² + 2n + 1)은

x가 홀수인 경우의 '피타고라스의 수'이고,

(2n + 2 , n² + 2n , n² + 2n + 2)는

x가 짝수인 경우의 '피타고라스의 수'라 할 수 있다.

def pythagorean_triple(n):
    return (2*n + 1, 2*n**2 + 2*n, 2*n**2 + 2*n + 1), (2*n + 2, n**2 + 2*n, n**2 + 2*n + 2)

for n in range(1, 50):
    T1, T2 = pythagorean_triple(n)
    print(T1)
    print(T2)